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Monday, February 13, 2012

証明の概略３

(承前)

n(≧７)について命題P(１)〜P(n−１)が成立すると仮定し、W平面上に原点を通るn個の円C１〜Cnが与えられたとします。C１とC２の(原点とは異なる)交点[１，２]をAと記すことにします。また、円[１，２，k](３≦k≦n)をDkと記すことにしましょう(定義からDkはAを通ります)。
この時、DsとDt(３≦s,t≦n)の交点のうちAとは異なる点を交点D[s,t]とすると、定義からこれは交点[１，２，s,t]と一致することが分かります。すなわちAを新たな原点と見立てた時、Ds,Dtからレベル２の操作で得られる交点D[s,t]は元の原点を基準とした時にC１，C２，Cs,Ctからレベル４の操作によって得られる交点[１，２，s,t]と一致します。
同様にAを原点としてDs,Dt,Du(３≦s,t,u≦n)からレベル３の操作を行って得られる円D[s,t,u]は元の原点基準でC１，C２，Cs,Ct,Cuからレベル５の操作を行って得られる円[１，２，s,t,u]と一致します。さらに高いレベルでも同様です。
このことから元の原点基準での命題P(m)(３≦m≦n−１)は、Aを原点基準としてDkタイプの円に命題P(m−２)を適用することにより成立が確かめられます。
同様に、P(n)についてもP(n−２)の適用により候補となる円または交点の存在を与えられることが分かります。しかしこの候補はC１，C２を出発点として得られた暫定的なものです。m≦n−１の場合にはP(m)の成立が仮定されていましたが、P(n)についてはまだだからです。従って証明を完全にするには他の２円から出発して得られた候補もそれと一致することを確かめる必要があります。 (つづく)

作成者 うろこ雲 [ コメント : 0]

Sunday, February 12, 2012

証明の概略２

(承前)

２／１０の記事ではレベル３から始めましたが、ここではレベル１から始めてみましょう。
まず、原点０を通る円C１が与えられたとします。当たり前ですが、このC１自体が一つの円[１]を定義します。すなわち円[１]＝C１です。このような円[１]が定義できるという自明な命題がP(１)です(レベル１)。
次に、原点を通る２つの円C１，C２が与えられたとします。(例外的なケースを除き)一般にこれらの円には２つの交点が存在します。そのうち原点でない方の点を交点[１，２]とします。このような交点[１，２]を定義できるという命題がP(２)です(レベル２)。
次に、原点を通る３つの円C１，C２，C３が与えられたとします。この時、それらのうちの２つずつを選んでレベル２の操作を行うことにより交点[１，２]，交点[２，３]，交点[３，１]が定義できますが、これら３点を含む円[１，２，３]が定義可能です。このような円を定義できるという命題がP(３)です(レベル３)。
次に、原点を通る４つの円C１〜C４が与えられたとします。それらのうちの３つずつを選んでレベル３の操作を行うことにより４つの円が定義できますが、それらの円は１点で交わります。この点を交点[１，２，３，４]とします。このような交点が定義できるという命題がP(４)です(レベル４)。
そしてレベル５以降も同様にして円→点→円→点→円→……と限りなく重層的に円・点を定義していけるということがクリフォードの定理の変換命題です。

以上でステップ１が完了しました。それではステップ２に進んでいきましょう。 (つづく)

作成者 うろこ雲 [ コメント : 0]

Saturday, February 11, 2012

クリフォードの定理 証明の概略１

次の３ステップで証明します。

１.変数変換により、帰納法を適用できる形に命題を書き換える(この命題をP(n)とします。nはレベル数です)。

２.n≧７の場合にP(n)の証明がP(k)(k≦n−１)の証明に帰着されることを示す。

３.n≦６の場合についてP(n)が成り立つことを示す。従って帰納法が成立し、一般のnについてもP(n)の成立が明らかになる。これによりクリフォードの定理の証明が完結する。


それではステップ１を始めましょう。平面上にn本の直線が引かれているとします。この平面を複素平面Zに見立てます。ただし原点０はどの直線上にもない位置にとっておきます。
次に、変数変換w＝１／zによりこの図を複素平面Wに移します。この時、各直線はそれぞれ原点０を通る円に変換されます(逆に、原点を通る円は直線に変換されます。また、原点を通らない円はやはり原点を通らない円に変換されます)。
この変換により、クリフォードの定理は次のような命題P(n)に変形されます。 (つづく)

作成者 うろこ雲 [ コメント : 0]

Friday, February 10, 2012

クリフォードの定理

平面上に３本の直線を引くと３つの交点ができます。そしてこの３つの点を通る円が一つ定まります(レベル３)。次に、４本の直線を引いてみます。このうち３本を選んでレベル３の操作を行うと一つの円が定まります。３本を選ぶ方法は４通りなので、全部の場合を合わせると４つの円ができるのですが、これらの円は一点で交わります(レベル４)。次に、５本の直線を引いてみます。このうち４つの直線を選んでレベル４の操作を行うと一つの点が定まります。４つの直線の選び方は５通りなので、全部で５つの点ができるのですが、これらの点は共通の一つの円に含まれます(レベル５)。同様に６本の直線から５つの直線を選んでレベル５の操作を行うと一つの円が定まります。選び方は６通りなので全部で６つの円ができますが、これらの円は一点で交わります(レベル６)。
こうして直線の数ごとにレベルが上がり、円→点→円→点→円→……と限りなく重層的な定義が定まっていくというのがクリフォードの定理の内容です。恐るべき定理ですね。岡潔が驚嘆したのもむべなるかな。
しかしこの定理の証明はレベル５か６あたりまでしか本に書かれていないようです。ネット上にも完全な証明はなかなか見当たりません。そこで証明の概略を次以降の記事で示してみようと思います。思いつきのアイディアなので間違いがないとは限りませんが、参考になれば幸いです。 (つづく)

作成者 うろこ雲 [ コメント : 0]

Tuesday, February 7, 2012

リックサック(LA-PPISCH)

あの曲なんだっけ、確か街でよくかかってたのになあ、とネットで検索しても分からなかった謎の曲。その正体が判明したのも例のナツメロ店のおかげだった。かかったのは別の曲(パヤパヤ)だったけど曲調から同じユニットだと分かったので、歌詞から検索してLA-PPISCHというバンド名に到達。wikiでディスコグラフィーを調べると「リックサック」という曲名が！ youtube動画で確かめるとドンピシャだった。そうか、リュックじゃなくリックだったのか、道理で検索にかからないはずだと納得してしまった(前記事の最後に書いたのはこのことです)。
ちなみにその動画を見てなつかしくて泣いたという人が結構居るらしい。１９８８年だからもう２０年以上前なんだなあ。そりゃあ泣くよねぇ(>_<)

作成者 うろこ雲 [ コメント : 0]
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