うろこ雲のブログ

Friday, February 10, 2012

クリフォードの定理

平面上に３本の直線を引くと３つの交点ができます。そしてこの３つの点を通る円が一つ定まります(レベル３)。次に、４本の直線を引いてみます。このうち３本を選んでレベル３の操作を行うと一つの円が定まります。３本を選ぶ方法は４通りなので、全部の場合を合わせると４つの円ができるのですが、これらの円は一点で交わります(レベル４)。次に、５本の直線を引いてみます。このうち４つの直線を選んでレベル４の操作を行うと一つの点が定まります。４つの直線の選び方は５通りなので、全部で５つの点ができるのですが、これらの点は共通の一つの円に含まれます(レベル５)。同様に６本の直線から５つの直線を選んでレベル５の操作を行うと一つの円が定まります。選び方は６通りなので全部で６つの円ができますが、これらの円は一点で交わります(レベル６)。
こうして直線の数ごとにレベルが上がり、円→点→円→点→円→……と限りなく重層的な定義が定まっていくというのがクリフォードの定理の内容です。恐るべき定理ですね。岡潔が驚嘆したのもむべなるかな。
しかしこの定理の証明はレベル５か６あたりまでしか本に書かれていないようです。ネット上にも完全な証明はなかなか見当たりません。そこで証明の概略を次以降の記事で示してみようと思います。思いつきのアイディアなので間違いがないとは限りませんが、参考になれば幸いです。 (つづく)