うろこ雲のブログ

Saturday, February 11, 2012

クリフォードの定理 証明の概略１

次の３ステップで証明します。

１.変数変換により、帰納法を適用できる形に命題を書き換える(この命題をP(n)とします。nはレベル数です)。

２.n≧７の場合にP(n)の証明がP(k)(k≦n−１)の証明に帰着されることを示す。

３.n≦６の場合についてP(n)が成り立つことを示す。従って帰納法が成立し、一般のnについてもP(n)の成立が明らかになる。これによりクリフォードの定理の証明が完結する。


それではステップ１を始めましょう。平面上にn本の直線が引かれているとします。この平面を複素平面Zに見立てます。ただし原点０はどの直線上にもない位置にとっておきます。
次に、変数変換w＝１／zによりこの図を複素平面Wに移します。この時、各直線はそれぞれ原点０を通る円に変換されます(逆に、原点を通る円は直線に変換されます。また、原点を通らない円はやはり原点を通らない円に変換されます)。
この変換により、クリフォードの定理は次のような命題P(n)に変形されます。 (つづく)