うろこ雲のブログ

Sunday, February 12, 2012

証明の概略２

(承前)

２／１０の記事ではレベル３から始めましたが、ここではレベル１から始めてみましょう。
まず、原点０を通る円C１が与えられたとします。当たり前ですが、このC１自体が一つの円[１]を定義します。すなわち円[１]＝C１です。このような円[１]が定義できるという自明な命題がP(１)です(レベル１)。
次に、原点を通る２つの円C１，C２が与えられたとします。(例外的なケースを除き)一般にこれらの円には２つの交点が存在します。そのうち原点でない方の点を交点[１，２]とします。このような交点[１，２]を定義できるという命題がP(２)です(レベル２)。
次に、原点を通る３つの円C１，C２，C３が与えられたとします。この時、それらのうちの２つずつを選んでレベル２の操作を行うことにより交点[１，２]，交点[２，３]，交点[３，１]が定義できますが、これら３点を含む円[１，２，３]が定義可能です。このような円を定義できるという命題がP(３)です(レベル３)。
次に、原点を通る４つの円C１〜C４が与えられたとします。それらのうちの３つずつを選んでレベル３の操作を行うことにより４つの円が定義できますが、それらの円は１点で交わります。この点を交点[１，２，３，４]とします。このような交点が定義できるという命題がP(４)です(レベル４)。
そしてレベル５以降も同様にして円→点→円→点→円→……と限りなく重層的に円・点を定義していけるということがクリフォードの定理の変換命題です。

以上でステップ１が完了しました。それではステップ２に進んでいきましょう。 (つづく)