うろこ雲のブログ

Monday, February 13, 2012

証明の概略３

(承前)

n(≧７)について命題P(１)〜P(n−１)が成立すると仮定し、W平面上に原点を通るn個の円C１〜Cnが与えられたとします。C１とC２の(原点とは異なる)交点[１，２]をAと記すことにします。また、円[１，２，k](３≦k≦n)をDkと記すことにしましょう(定義からDkはAを通ります)。
この時、DsとDt(３≦s,t≦n)の交点のうちAとは異なる点を交点D[s,t]とすると、定義からこれは交点[１，２，s,t]と一致することが分かります。すなわちAを新たな原点と見立てた時、Ds,Dtからレベル２の操作で得られる交点D[s,t]は元の原点を基準とした時にC１，C２，Cs,Ctからレベル４の操作によって得られる交点[１，２，s,t]と一致します。
同様にAを原点としてDs,Dt,Du(３≦s,t,u≦n)からレベル３の操作を行って得られる円D[s,t,u]は元の原点基準でC１，C２，Cs,Ct,Cuからレベル５の操作を行って得られる円[１，２，s,t,u]と一致します。さらに高いレベルでも同様です。
このことから元の原点基準での命題P(m)(３≦m≦n−１)は、Aを原点基準としてDkタイプの円に命題P(m−２)を適用することにより成立が確かめられます。
同様に、P(n)についてもP(n−２)の適用により候補となる円または交点の存在を与えられることが分かります。しかしこの候補はC１，C２を出発点として得られた暫定的なものです。m≦n−１の場合にはP(m)の成立が仮定されていましたが、P(n)についてはまだだからです。従って証明を完全にするには他の２円から出発して得られた候補もそれと一致することを確かめる必要があります。 (つづく)